题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A—BCD。
（1）求证：平面AOC⊥平面BCD；
（2）若三棱锥A—BCD的体积为，求AC的长。

答案

（1）证明：因为是正方形，
所以，．…………………………1分
在折叠后的△和△中，
仍有，．…………………………2分
因为，所以平面．………3分
因为平面，
所以平面平面．…………………………4分
（2）解：设三棱锥的高为，
由于三棱锥的体积为，
所以．因为，所以．…5分

以下分两种情形求的长：
①当为钝角时，如图，过点作的垂线交的延长线于点，
由（1）知平面，所以．
又，且，所以平面．
所以为三棱锥的高，即．………………………………………6分
在△中，因为，
所以
．………………7分
在△中，因为，
则．…………………………8分
所以．…………………………9分
②当为锐角时，如图，过点作的垂线交于点，
由（1）知平面，所以．
又，且，所以平面．
所以为三棱锥的高，即．
在△中，因为，
所以
．…………10分
在△中，因为，
则．
所以．…………………11分
综上可知，的长为或．

解析

本试题主要是考查立体几何中垂直的证明，以及利用线面的垂直的判定定理和性质定理求解三棱锥的体积，得到AC的长度。