题目
题型:不详难度:来源:
(1)过作直线平面,且平面=,求的长度。
(2)求直线与平面所成角的正弦值。
答案
解析
试题分析:因为,中点为,连接AF,EF.
∵∴AF⊥BD,
∵,∴DB2+DC2=BC2,∴△BCD是以BC为斜边的直角三角形,BD⊥DC,
∵平面,DB=2,∴EF为△BCD的中位线,∴EF∥CD,且EF=CD,
∴EF⊥BD,EF=,
∴∠AFE是二面角A-BD-C的平面角,∠AFE=60°.∴△ABD为等腰直角三角形,∴AF=BD=1,
∴AE=,在直角三角形DFE中,.
(2)以F为原点,FB所在直线为x轴,FE所在直线为y轴,平行于EA的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则由(1)及已知条件可知B(1,0,0),E(0,,0),A(0,,),
D(-1,0,0),C(-1,1,0),
则=(1,-,-) , =(0,-1,0),=(-1,-,-),。
设平面ACD的法向量为
=(x,y,z),
则,
∴,y=0,
令x=,则z=-2,∴=(,0,-2),故由公式可得直线与平面所成角的正弦值为。
点评:中档题,立体几何问题中,平行关系、垂直关系,角、距离、面积、体积等的计算,是常见题型,基本思路是将空间问题转化成为平面问题,利用平面几何知识加以解决。要注意遵循“一作,二证,三计算”。通过建立空间直角坐标系,利用空间向量,可简化证明过程。
核心考点
试题【如图,四边形中(图1),,中点为,将图1沿直线折起,使二面角为(图2) (1)过作直线平面,且平面=,求的长度。(2)求直线与平面所成角的正弦值。】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)设点在线段上,,且使直线和平面所成的角的正弦值为,求的值.
(1)求证:无论取何值,与不可能垂直;
(2)设二面角的大小为,当时,求的值.
A.3 | B.4 | C.5 | D.6 |
A.平面平面 | B.平面平面 |
C.平面平面 | D.平面平面 |
(1)点是的中点,点是的中点,将分别沿折起,使两点重合于点。求证:
(2)当时,求三棱锥的体积。
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