题目

题型：湖北难度：来源：

设(

2

2

+x)2n=a0+a1x+a2x2+…+a2n-1x2n-1+a_2nx²ⁿ，则

lim

n→∞

[（a₀+a₂+a₄+…+a_2n）²-（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）²]=（　　）

A．-1

B．0

C．1

D． 1 2

答案

令x=1和x=-1分别代入二项式(

2

2

+x)2n=a0+a1x+a2x2+…+a2n-1x2n-1+a_2nx²ⁿ中得
a₀+a₁+a₂+a₃+…a_2n-1+a_2n=(

2

2

+1)2n，a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+…-a_2n-1+a_2n=(

2

2

-1)2n由平方差公式
得（a₀+a₂+a₄+…+a_2n）²-（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）²=（a₀+a₁+a₂+a₃+…a_2n-1+a_2n）（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+…-a_2n-1+a_2n）═(

2

2

+1)2n(

2

2

-1)2n=(

1

2

-1)2n=(

1

4

)n所以

lim

n→∞

[（a₀+a₂+a₄+…+a_2n）²-（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）²]=

lim

n→∞

(

1

4

)n=0
故选择B