题目

题型：不详难度：来源：

已知(

x

+

1

2 4 x

)n展开式的前三项系数成等差数列．则（1）n=______；（2）展开式的一次项是______；（3）展开式中的有理项是______．

答案

（1）∵(

x

+

1

2 4 x

)n展开式的前三项系数成等差数列，
∴

C

0n

+

C

2n

(

1

2

)2=2

C

1n

×

1

2

，
∴1+

n(n-1)

2

×

1

4

=n，
整理得n²-9n+8=0，n₁=1（舍去），n₂=8，
∴n=8．
（2）∵T_r+1=

C

r8

(

x

)8-r×(

1

2

)rx-

r

4

=(

1

2

)r

C

r8

x4-

3

4

r，
∴令4-

3

4

r=1得r=4．
∴T₅=(

1

2

)4

C

48

x=

1

16

×

8×7×6×5

4×3×2×1

x=

35

8

x，
∴展开式的一次项是

35

8

x．
（3）当令4-

3

4

r∈Z时，T_r+1为有理项，因为0≤r≤8且r∈Z，
所以r=0，4，8符合要求．
故有理项有3项，分别是T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2．
故答案为（1）8；（2）

35

8

x；（3）x⁴，

35

8

x，

1

256

x^-2．