题目

题型：不详难度：来源：

（本小题10分）已知向量＝(1＋cosB，sinB)且与向量=（0，1）所成的角为，其中A、B、C为ΔABC的三个内角。
（1）求角B的大小；（2）若AC＝，求ΔABC周长的最大值。

答案

（1）B=。（2）ΔABC的周长的最大值为。

解析

．解：法（1）：①∵=(1+cosB，sinB)与=（0，1）所成的角为
∴与向量=（1，0）所成的角为                             
∴，即                            （2分）
而B∈（0，π），∴，∴，∴B=。                （4分）
②令AB=c，BC=a，AC=b
∵B=，∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=，∵a，c>0。            （6分）
∴a²+c²≥，ac≤   （当且仅当a=c时等号成立）
∴12=a²+c²-ac≥                        （8分）
∴(a+c)²≤48，∴a+c≤，∴a+b+c≤+=（当且仅当a=c时取等号）
故ΔABC的周长的最大值为。                                 （10分）
法2：（1）cos<，>=cos
∴，                                              （2分）
即2cos²B+cosB-1=0，∴cosB=或cosB=-1（舍），而B∈（0，π），∴B= （4分）
（2）令AB=c，BC=a，AC=b，ΔABC的周长为，则=a+c+
而a=b·，c=b·                                     （2分）
∴==
=                  （8分）
∵A∈（0，），∴A-，
当且仅当A=时，。                           （10分）