题目
题型:不详难度:来源:
答案
解析
试题分析:假设角AMN的值为θ,由三角形AMN中角NAM为.由正弦定理可得到AM的表达式,在三角形AMP中利用余弦定理表示出AP的值,由角θ的取值范围,再根据三角函数的单调性知识即可得到结论.本小题用了五种解法分别从三角,坐标系,圆等方面入手.
解法一:设∠AMN=θ,在△AMN中,=.
因为MN=2,所以AM=sin(120°-θ). 2分
在△APM中,cos∠AMP=cos(60°+θ). 4分
AP2=AM2+MP2-2 AM·MP·cos∠AMP=sin2(120°-θ)+4-2×2×sin(120°θ)cos(60°+θ) 6分
=sin2(θ+60°)-sin(θ+60°)cos(θ+60°)+4
=[1-cos (2θ+120°)]-sin(2θ+120°)+4
=-[sin(2θ+120°)+cos (2θ+120°)]+
=-sin(2θ+150°),θ∈(0,120°). 10分
当且仅当2θ+150°=270°,即θ=60°时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.
答:设计∠AMN为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小. 12分
解法二(构造直角三角形):
设∠PMD=θ,在△PMD中,
∵PM=2,∴PD=2sinθ,MD=2cosθ. 2分
在△AMN中,∠ANM=∠PMD=θ,∴=,
AM=sinθ,∴AD=sinθ+2cosθ,(θ≥时,结论也正确). 4分
AP2=AD2+PD2=(sinθ+2cosθ)2+(2sinθ)2
=sin2θ+sinθcosθ+4cos2θ+4sin2θ 6分
=·+sin2θ+4=sin2θ-cos2θ+
=+sin(2θ-),θ∈(0,). 10分
当且仅当2θ-=,即θ=时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.
此时AM=AN=2,∠PAB=30° 12分
解法三:设AM=x,AN=y,∠AMN=α.
在△AMN中,因为MN=2,∠MAN=60°,
所以MN2=AM2+AN2-2 AM·AN·cos∠MAN,
即x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=4. 2分
因为=,即=,
所以sinα=y,cosα===. 4分
cos∠AMP=cos(α+60°)=cosα-sinα=·-·y=. 6分
在△AMP中,AP2=AM2+PM2-2 AM·PM·cos∠AMP,
即AP2=x2+4-2×2×x×=x2+4-x(x-2y)=4+2xy. 10分
因为x2+y2-xy=4,4+xy=x2+y2≥2xy,即xy≤4.
所以AP2≤12,即AP≤2.
当且仅当x=y=2时,AP取得最大值2.
答:设计AM=AN=2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小. 12分
解法四(坐标法):以AB所在的直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系.
设M(x1,0),N(x2, x2),P(x0,y0).∵MN=2,
∴(x1-x2)2+3x22=4. 2分
MN的中点K(,x2).
∵△MNP为正三角形,且MN=2,∴PK=,PK⊥MN,
∴PK2=(x0-)2+(y0-x2)2=3,
kMN·kPK=-1,即·=-1, 4分
∴y0-x2= (x0-),∴(y0-x2)2= (x0-)2
∴(1+)(x0-)2=3,即 (x0-)2=3,∴(x0-)2=x22.
∵x0->0 ∴x0-=x2,
∴x0=x1+2x2,∴y0=x1. 6分
∴AP2=x02+y02=(2x2+x1)2+x12=x12+4x22+2x1x2
=4+4x1x2≤4+4×2=12, 10分
即AP≤2.
答:设计AM=AN=2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小. 12分
解法五(几何法):由运动的相对性,可使△PMN不动,点A在运动.
由于∠MAN=60°,∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上, 4分
设圆弧所在的圆的圆心为F,半径为R,
由图形的几何性质知:AP的最大值为PF+R. 6分
在△AMN中,由正弦定理知:=2R,
∴R=, 8分
∴FM=FN=R=,又PM=PN,∴PF是线段MN的垂直平分线.
设PF与MN交于E,则FE2=FM2-ME2=R2-12=.
即FE=,又PE=. 10
∴PF=,∴AP的最大值为PF+R=2.
答:设计AM=AN=2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小. 12分
核心考点
试题【如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A),要求PM=P】;主要考察你对解三角形应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当时,求的大小;
(2)求的面积S的最小值及使得S取最小值时的值.
(1).求角B的大小;
(2).求sin A+sin C的取值范围.
(Ⅰ)求△ABC的周长;
(Ⅱ)求cos(A﹣C)的值.
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