题目

题型：不详难度：来源：

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2-b2=

3

ac．
（1）求sin2

A+C

2

+cos2B的值；
（2）若b=2，求△ABC的面积的最大值．

答案

∵a²+c²-b²=

3

ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3 ac

2ac

=

3

2

，
又B为三角形的内角，
∴B=

π

6

，
（1）原式=sin²

π-B

2

+cos2B=cos²

B

2

+cos2B=

1

2

（1+cosB）+2cos²B-1
=

1

2

（1+

3

2

）+2×（

3

2

）²-1=1+

3

4

；
（2）∵b=2，
∴

3

ac=a²+c²-b²=a²+c²-4≥2ac-4，
∴ac≤

4

2- 3

=4（2+

3

）（当且仅当a=c=

2

+

6

时取等号），
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

4

ac≤2+

3

，
则△ABC面积的最大值为2+

3

．