题目

题型：蓝山县模拟难度：来源：

△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且满足a²-ab+b²=c²，
（1）求角C；
（2）若△ABC的周长为2，求△ABC面积的最大值．

答案

（1）由a²-ab+b²=c²，得a²+b²-c²=ab，
利用余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵C为三角形的内角，
∴C=

π

3

；
（2）由a²-ab+b²=c²=（2-a-b）²，即3ab+4=4（a+b），
而 a+b≥2

ab

，当且仅当a=b时取等号，
即3ab+4≥8

ab

，
即3ab-8

ab

+4≥0，
解得：

ab

≤

2

3

或

ab

≥2（舍去）
所以ab≤

4

9

，又sinC=

3

2

，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab，
当a=b=

2

3

时，S_△ABC有最大值为

3

9

．