题目

题型：上海模拟难度：来源：

（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值；
（2）若三角形有一个内角为arccos

7

9

，周长为定值p，求面积S的最大值；
（3）为了研究边长a、b、c满足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S=

1

2

absinC≤

1

2

×9×8sinC=36sinC，要使S的值最大，则应使sinC最大，即使∠C最大，也就是使∠C所对的边c边长最大，所以，当a9，b8，c4时该三角形面积最大，此时cosC=

43

48

，sinC=

455

48

，所以，该三角形面积的最大值是

3 455

4

．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的解答．

答案

（1）设直角三角形两直角边长分别为x、12-x，斜边长为y，则 y=

x2+(12-x)2

=

2(x-6)2+72

≥6

2

，
∴两直角边长都为6时，周长p的最小值为 12+6

2

．
 （2）设三角形中边长为x、y的两边所夹的角为 arccos

7

9

，则周长p=x+y+

x2+y2-2xy• 7 9

，
∴p≥2

xy

+

2xy- 14 9 xy

=

8

3

xy

，即 xy≤

9

64

p2．
又S=

1

2

xysin(arccos

7

9

)=

2 2

9

xy≤

2

32

p2，∴面积S的最大值为

2

32

p2．
（3）不正确．16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（b+c）²-a²][a²-（b-c）²]
=-a⁴+2（b²+c²）a²-（b²-c²）²=-[a²-（b²+c²）]²+4b²c²，
而-[a²-（b²+c²）]²≤0，b²≤64，c²≤16，则S≤16．
其中等号成立的条件是 a²=b²+c²，b=8，c=4，则 a=4

5

．
∴当三角形的边长a、b、c 分别为 4

5

，8，4的直角三角形时，其面积取得最大值16．
（ 另S=

1

2

bcsinA≤

1

2

•8•4•sin90°=16）．