题目

题型：河南省同步题难度：来源：

设a≥0，函数f（x）=[x²+（a-3）x-2a+3]e^x，g（x）=2-a-x-。
（I）当a≥1时，求f（x）的最小值；
（II）假设存在x₁，x₂∈（0，+∞），使得|f（x₁）-g（x₂）|<1成立，求a的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）∵，
∵，
∴时，f（x）递增，
时，f（x）递减，
时，f（x）递增，
所以f（1）的极大值点为x₁=-a，极小值点为x₂=1，
而，
由于，对二次函数，对称轴为，，
∴当时，，
∴，
当x>-a时，f（x）的最小值为，
所以，f（x）的最小值是；
（II）由（Ⅰ）知f（x）在的值域是：
当a≥1时，为，当时，为；
而在的值域是为，
所以，当时，令，并解得，
当时，令，无解，
因此，a的取值范围是。