题目
题型:吉林省模拟题难度:来源:
设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.
(1)用a表示b,并求b的最大值;
(2)求F(x)=f(x)﹣g(x)的极值
答案
∴f′(x)=x+2a,g′(x)=,
由题意f(x0)=g(x0),
f′(x0)=g′(x0)即,
由x0+2a=得:x02+2ax0﹣3a2=0,
即(x﹣a)(x+3a)=0,解得x0=a或x0=﹣3a(舍去).
即有b=a2+2a2﹣3a2lna=a2﹣3a2lna,
令h(t)=t2﹣3t2lnt(t>0),
则h′(t)=5t﹣6tlnt﹣3t=2t(1﹣3lnt),
于是当t(1﹣3lnt)>0,即0<t<时,h′(t)>0;
当t(1﹣3lnt)<0,即t>时,h′(t)<0,
故h(t)在(0,)上为增函数,在(,+∞)上为减函数,
则h(t)在(0,+∞)的最大值为h()=﹣3ln=;
(2)F(x)=f(x)﹣g(x)=,
则F′(x)=x+2a﹣=(x>0).
故F(x)在(0,∞)为减函数,在(a,+∞)为增函数,
于是函数F(X)在x=a时有极小值F(a),
F(X0)=f(x0)﹣g(x0)=0无极大值.
核心考点
试题【已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.(1】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)当a=时,求函数f(x)在[﹣2,2]上的最大值、最小值;
(Ⅱ)令g(x)=ln(x+1)+3﹣f′(x),若g(x)在(﹣)上单调递增,求实数a的取值范围.
(1)求该企业一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式;
(2)当每件产品的出厂价定为多少元时,企业一年的利润最大,并求最大利润.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x﹣y=3,求实数a的值;
(2)若f(x)的值域为[0,+∞),求a的值;
(3)若a<0,对任意x1,x2∈(0,1],且x1≠x2,恒有,求实数a的取值范围.
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