题目
题型:期末题难度:来源:
﹣1))处的切线与直线x﹣5y+1=0垂直.
(1)求实数b,c的值;
(2)求f(x)在[﹣1,e](e为自然对数的底数)上的最大值;
(3)对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?
答案
由( b﹣5 )( )=﹣1,可得b=0,
故 f(x)=﹣x3+x2+c.把点(﹣1,2)代入求得 c=0.
综上可得b=0,c=0.
(2)由以上可得 ,当﹣1≤x<1时,f′(x)=﹣x(3x﹣2).
解f′(x)>0得0<x< .解f′(x)<0得1≥x> 或x<0.
∴f(x)在(﹣1,0)和( ,1)上单调递减,在(0, )上单调递增,
从而f(x)在x= 处取得极大值为f( )= .
又∵f(﹣1)=2,f(1)=0,
∴f(x)在[﹣1,1)上的最大值为2.
当1≤x≤e时,f(x)=alnx,
当a≤0时,f(x)≤0.
当a>0时,f(x)在[1,e]单调递增;
∴f(x)在[1,e]上的最大值为a.
∴a≥2时,f(x)在[﹣1,e]上的最大值为a;
当a<2时,f(x)在[﹣1,e]上的最大值为2.
(3)设点P的横坐标为m(不妨设m>0),
则由题意可得点Q的横坐标为﹣m,且﹣m<0.
当0<m<1时,点P(m,﹣m3+m2),点 Q(﹣m,m3+m2),
由K0P·KOQ=﹣1,可得(﹣m2+m)(﹣m2﹣m)=﹣1,m无解.
当m≥1时,点P(m,alnm),点 Q(﹣m,m3+m2),
由K0P·KOQ=﹣1,可得 ·(﹣m2﹣m)=﹣1,即 alnm= .
由于a为正实数,故存在大于1的实数m,满足方程 alnm= .
故曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,
且此三角形斜边中点在y轴上.
核心考点
试题【已知函数f(x)=的图象过点(﹣1,2),且在点(﹣1,f(﹣1))处的切线与直线x﹣5y+1=0垂直.(1)求实数b,c的值;(2)求f(x)在[﹣1,e](】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
(1)设∠OPA3=θ(rad),请写出y关于θ的函数解析式,并写出函数的定义域;
(2)试确定点P的位置,使四根金属支架的总长度最短.(参考数值:,其中α≈1.23)
已知函数f(x)=ln (ax+1)+,其中a>0.
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
(1)求实数a的值;
(2)若k∈Z,且对任意x>1恒成立,求k的最大值;
(3)当n>m≥4时,证明(mnn)m>(nmm)n.
最新试题
- 1若y=3,则y2=______.
- 2读五带示意图完成下列问题:(1)图中字母A表示______带,B表示______带,C表示______带(2)阳光直射现
- 3读地貌地质综合示意图,分析后回答下列问题。(1)图中A代表的地貌形态是___________,在我国分布的地区是____
- 4Funeral homes aren’t just for dead peopled . They’re for our
- 5已知正三棱锥的侧面积为18 cm,高为3cm. 求它的体积 .
- 6秦汉时期科技文化发展的原因有 ①国家的统一②生产的发展③各民族各地区之间经济交往的加强④科技成就处于世界领先地位[
- 7Jim Smith is English. His first name is ____.[ ]A. Jim
- 8若a为整数,则a2+a一定能被( )整除.A.2B.3C.4D.5
- 9It"s May lst. My family _______vacation. [ ]A. are all h
- 10如图,心脏四个腔中,将血液输送到全身各处,壁最厚的是( )A.①右心房B.②左心房C.③右心室D.④左心室
热门考点
- 1默写古诗文中的名篇名句。(6分)⑴补写出下列名句中的上句或下句。(任选其中两句)(2分)①大道之行也,天下为公,选贤与能
- 2根据句意和汉语注释,在空格内写出单词的正确形式1. Do you have any __________(表兄弟)?2.
- 3如图3,在△ABC中,AB=AC,AD∥BC,如果∠BAC∶∠CAD=1∶2,那么∠B=_____度.
- 4在甲、乙、丙、丁四个烧杯内分别放入0.1 mol的钠、氧化钠、过氧化钠和氢氧化钠,然后各加入100 mL水,搅拌,使固体
- 5比较大小:(1)-(-3) -[+(-9)]; (2) -
- 61. Where does the conversation take place?A. In an office.B.
- 7下列实验方案不可行的是 [ ]A.用闻气味的方法区别氧气和二氧化碳 B.用观察颜色的方法区别铁片和铜片 C.用燃
- 8反应2A(g)+B(g)2C(g) ΔH>0。下列反应条件有利于生成C的是( ) A.低温、低压B.低温、高压C
- 9某地工人月工资y(单位:元)随劳动生产率x(单位:千元)变化的回归方程是̂y=500+80x,下列判断正确的是( )A
- 10如图所示是由一些同样的正方体块搭成的几何体的三视图,那么构成这个几何体的小正方体个数是( )A.11B.10C.9D.8