题目

题型：云南省月考题难度：来源：

已知函数．
（1）求函数f（x）在（0，2）上的最小值；
（2）设g（x）=﹣x²+2mx﹣4，若对任意x₁∈（0，2），x_2^∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数m的取值范围．

答案

解：（1）求导函数，可得 
∵0＜x＜2，令f′（x）＞0，可得1＜x＜2；
令f′（x）＞0，可得0＜x＜1
∴函数f（x）在（0，2）上的单调递增区间是（1，2），单调递减区间是（0，1）
∴函数f（x）在x=1处，取得极小值，且为最小值 
（2）由（1）知，f（x）_min= 
对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
等价于﹣x²+2mx﹣4 ，x，∈[1，2]恒成立．
∴ ，x，∈[1，2]恒成立．
∵ ，当且仅当 ，即 时取等号
∴ 
∴实数m的取值范围为