烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A、B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：湛江二模难度：来源：

烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A、B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．（比例系数为k）．若C是AB连线上的点，设AC=x km，C点的烟尘浓度记为y．
（Ⅰ）写出y关于x的函数表达式；
（Ⅱ）是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由．魔方格

答案

（Ⅰ）不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，由AC=x，（0＜x＜20），可得BC=20-x；…（3分）
依题意，点C处的烟尘浓度y的函数表达式为：y=

k•8

(20-x)2

，（0＜x＜20）…（6分）
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的函数表达式求导得y′=-

16k

(20-x)3

2k(9x3-60x2+1200x-8000)

x3(20-x)3

；…（9分）
令y"=0，得（3x-20）•（3x²+400）=0；
又0＜x＜20，∴x=

．…（12分）
∵当x∈(0 ，

)时，y"＜0；当x∈(

， 20)时，y"＞0，
∴当x=

时，y取最小值．
故存在点C，当AC=

km时，该点的烟尘浓度最低．…（14分）

核心考点

试题【烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A、B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）=

x2-2x，g(x)=logax（a＞0，且a≠1），其中a为常数，如果h（x）=f（x）+g（x）在其定义域上是增函数，且h"（x）存在零点（h"（x）为h（x）的导函数）．
（I）求a的值；
（Ⅱ）设A（m，g（m）），B（n，g（n））（m＜n）是函数y=g（x）的图象上两点，g"（x₀）=

g(n)-g(m)

n-m

（g"（x）为g（x）的导函数），证明：m＜x₀＜n．

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定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x₁、x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，则称函数y=f（x）为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”．试问函数f（x）=x³-x+α（x∈[-1，1]，α∈R）是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．

题型：不详难度：| 查看答案

函数f（x）=x³-3x+1在[-3，0]上的最大值与最小值的差为______．

题型：不详难度：| 查看答案

用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是______．

题型：不详难度：| 查看答案

体积为16π的圆柱，它的半径为______，圆柱的表面积最小．（理体班提示：V=底×高，S_表=S_上+S_下+S_侧）

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