题目

题型：泉州模拟难度：来源：

已知f0(x)=x•ex，f₁（x）=f′₀（x），f₂（x）=f′₁（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x）（n∈N^*）．
（Ⅰ）请写出f_n（x）的表达式（不需证明）；
（Ⅱ）设f_n（x）的极小值点为P_n（x_n，y_n），求y_n；
（Ⅲ）设gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，g_n（x）的最大值为a，f_n（x）的最小值为b，试求a-b的最小值．

答案

（Ⅰ）fn(x)=(x+n)•ex（n∈N^*）．…（4分）
（Ⅱ）∵fn′(x)=(x+n+1)•ex，
∴当x＞-（n+1）时，fn′(x)＞0；当x＜-（n+1）时，fn′(x)＜0．
∴当x=-（n+1）时，f_n（x）取得极小值fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
即yn=-e-(n+1)（n∈N^*）．…（8分）
（Ⅲ） 解法一：∵gn(x)=-(x+(n+1))2+(n-3)2，所以a=gn(-(n+1))=(n-3)2．…（9分）
又b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1），
令h（x）=（x-3）²+e^-（x+1）（x≥0），则h"（x）=2（x-3）-e^-（x+1）．…（10分）
∵h"（x）在[0，+∞）单调递增，∴h"（x）≥h"（0）=-6-e^-1，
∵h"（3）=-e^-4＜0，h"（4）=2-e^-5＞0，
∴存在x₀∈（3，4）使得h"（x₀）=0．…（12分）
∵h"（x）在[0，+∞）单调递增，
∴当0≤x＜x₀时，h"（x₀）＜0；当x＞x₀时，h"（x₀）＞0，
即h（x）在[x₀，+∞）单调递增，在[0，x₀）单调递减，
∴（h（x））_min=h（x₀），
又∵h（3）=e^-4，h（4）=1+e^-5，h（4）＞h（3），
∴当n=3时，a-b取得最小值e^-4．…（14分）
解法二：∵gn(x)=-(x+(n+1))2+(n-3)2，所以a=gn(-(n+1))=(n-3)2．…（9分）
又b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1），
令cn=(n-3)2+e-(n+1)，
则cn+1-cn=2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

，…（10分）
当n≥3时，cn+1-cn=2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

，又因为n≥3，所以2n-5≥1，

1

en+2

＞0，0＜

1

en+1

＜1，所以2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

＞0，所以c_n+1＞c_n．…（12分）
又c1=4+

1

e2

，c2=1+

1

e3

，c3=

1

e4

，c₁＞c₂＞c₃，
∴当n=3时，a-b取得最小值e^-4．…（14分）