题目

题型：自贡一模难度：来源：

设函数f(x)=x-ln(x+

1+x2

)．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax³，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令an=

1

9

(

1

2

)6n+ln[(

1

2

)2n+

1+( 1 2 )4n

](n∈N*)，试证明：a1+a2+a3+…+an＜

1

3

．

答案

（I）函数的定义域为R，
由于f′（x）=1-

1

1+x 2

≥0，
知f（x）是R上的增函数．
（II）令g（x）=f（x）-ax³=x-ln（x+

1+x 2

）-ax³．
则g′（x）=

1+x 2 (1-3ax 2)-1

1+x 2

，
令h（x）=

1+x 2

(1-3ax 2)-1，
则h′（x）=

(1-6a)x-9ax 2

1+x 2

=

x(1-6a-9ax 2)

1+x 2

，
（1）当a≥

1

6

时，h′（x）≤0，从而h（x）是[0，+∞）上的减函数，因h（0）=0，则x≥0时，h（x）≤0，也即g′（x）≤0，进而g（x）是[0，+∞）上的减函数，
注意g（0）=0，则x≥0时，g（x）≤0，也即f（x）≤ax³，
（2）当0＜a＜

1

6

时，在[0，

1-6a 9a

]，h′（x）＞0，从而x∈[0，

1-6a 9a

]时，也即f（x）＞ax³，
（3）当a≤0时，h′（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax³，
综合，实数a的取值范围[

1

6

，+∞）．
（III）在（II）中取a=

1

9

，则x∈[0，

3

3

]，时，x-ln（x+

1+x 2

）＞

1

9

x³，即

1

9

x³+ln（x+

1+x 2

）＜x，
令x=（

1

2

）²ⁿ，则an=

1

9

(

1

2

)6n+ln[(

1

2

)2n+

1+( 1 2 )4n

](n∈N*)＜（

1

2

）²ⁿ，
∴a1+a2+a3+…+an＜

1 4 (1-( 1 4 ) n)

1- 1 4

＜

1

3