题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（　　）

A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称

B．y=f（x）的图象关于x= π 2 对称

C．f（x）的最大值为 3 2

D．f（x）既是奇函数，又是周期函数

答案

对于A选项，因为f（2π-x）+f（x）=cos（2π-x）sin2（2π-x）+cosxsin2x=-cosxsin2x+cosxsin2x=0，故y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，A正确；
对于B选项，因为f（π-x）=cos（π-x）sin2（π-x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的图象关于x=

π

2

不对称，故B正确；
对于C选项，f（x）=cosxsin2x=2sinxcos²x=2sinx（1-sin²x）=2sinx-2sin³x，令t=sinx∈[-1，1]，则y=2t-2t³，t∈[-1，1]，则y′=2-6t²，令y′＞0解得-

3

3

＜t＜

3

3

，故y=2t-2t³，在[-

3​

3

，

3​

3

]上增，在[-1，-

3​

3

]与[

3​

3

，1]上减，又y（-1）=0，y（

3​

3

）=，故函数的最大值为

4 3

9

，故C错误；
对于D选项，因为f（-x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，所以函数即是奇函数，又是周期函数
，故D正确
综上知，错误的结论只有C，
故选C