若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值为______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

若函数f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值为______．

答案

∵函数f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，
∴将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位，得函数y=f（x-2）的图象关于x=0对称，
可得f（x-2）=[1-（x-2）²][（x-2）²+a（x-2）+b]是偶函数
设g（x）=f（x-2）=-x⁴+（8-a）x³+（12a-b-23）x²+（28-11a+4b）x+8a-4b
∵g（-x）=g（x），
∴

8-a=0

28-11a+4b=0

，解之得

a=8

b=15

因此，f（x）=（1-x²）（x²+8x+15）=-x⁴-8x³-14x²+8x+15
求导数，得f"（x）=-4x³-24x²-28x+8
令f"（x）=0，得x₁=-2-

，x₂=-2，x₃=-2+

当x∈（-∞，-2-

）时，f"（x）＞0；当x∈（-2-

，-2）时，f"（x）＜0；
当x∈（-2，-2+

）时，f"（x）＞0；当x∈（-2+

，+∞）时，f"（x）＜0
∴f（x）在区间（-∞，-2-

）、（-2，-2+

）上是增函数，在区间（-2-

，-2）、（-2+

，+∞）上是减函数
又∵f（-2-

）=f（-2+

）=16
∴f（x）的最大值为16
故答案为：16

核心考点

试题【若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值为______．】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

若函数f（x）满足：在定义域内存在实数x₀，使f（x₀+k）=f（x₀）+f（k）（k为常数），则称“f（x）关于k可线性分解”．
（1）函数f（x）=2^x+x²是否关于1可线性分解？请说明理由；
（2）已知函数g（x）=lnx-ax+1（a＞0）关于a可线性分解，求a的范围；
（3）在（2）的条件下，当a取最小整数时；
（i）求g（x）的单调区间；
（ii）证明不等式：（n!）²≤e^n（n-1）（n∈N^*）．

题型：成都模拟难度：| 查看答案

设函数fn(x)=-xn+3ax+b（n∈N^*，a，b∈R）．
（1）若a=b=1，求f₃（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（2）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，求a的取值范围；
（3）若|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值为

，求a，b的值．

题型：盐城二模难度：| 查看答案

已知f（x）=ax-1nx，x∈（0，e]，g（x）=

1nx

，其中e是自然常数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+

；
（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

题型：甘肃三模难度：| 查看答案

设函数f(x)=ex-

x2-x．
（1）若k=0，求f（x）的最小值；
（2）若当x≥0时f（x）≥1，求实数k的取值范围．

题型：不详难度：| 查看答案

设函数f(x)=

1-a

x2+ax-lnx(a∈R)．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有

(a2-1)

m+ln2＞|f(x1)-f(x2)|成立，求实数m的取值范围．

题型：吉林二模难度：| 查看答案

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