用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再将内接矩形卷成一个圆柱（无底、无盖），问使矩形边长为多少时，其体积最大？ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再将内接矩形卷成一个圆柱（无底、无盖），问使矩形边长为多少时，其体积最大？

答案

可设矩形的两边x，y，由几何关系x²+y²=4R²故有y=

4R2-x2

．，
则体积V=π×(

2π

)2×

4R2-x2

x 2

4π

4R2-x2

∴V′=

4π

×（2x×

4R2-x2

x2×(-x)

4R2-x2

）
令V′=0得2x×

4R2-x2

x2×(-x)

4R2-x2

=0，整理得

4R2-x2

=x，解得x=

R，此时另一边长为

R
即当x=

R时，体积取到最大值，最大值为V=

2R 2

4π

4R2-2R2

R3
即当长与宽都是

R时，此圆柱体体积取到最大值

核心考点

试题【用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再将内接矩形卷成一个圆柱（无底、无盖），问使矩形边长为多少时，其体积最大？】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f"（x）＜0恒成立，且f（4）=1，若f（x+y）≤1，则x²+y²+2x+2y的最小值是______

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已知函数f(x)=

3ex+1

ex+1

+ln(x+

1+x2

)，若f（x）在区间[-k，k]（k＞0）上的最大值、最小值分别为M，m，则M+m=______．

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设函数f（x）=（ax-1）e^x+（1-a）x+1．
（I）证明：当a=0时，f（x）≤0；
（II）设当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．

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设函数f（x）=xln（e^x+1）-

x2+3，x∈[-t，t]（t＞0），若函数f（x）的最大值是M，最小值是m，则M+m=______．

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已知函数f（x）=-x³+ax²-4，a∈R．
（I）当a=3时，求f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；
（II ）若存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞0，求a的取值范围．

题型：张掖模拟难度：| 查看答案

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