| 求证：x＞1时，2x3＞x2+1． |
证明：令f（x）=2x3-x2-1，则f′（x）=6x2-2x=2x（3x-1）．
当x＞1时，f′（x）＞0恒成立．
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增．
又∵f（1）=0，
∴f（x）在（1，+∞）上恒大于零，即当x＞1时，2x3＞x2+1． |
核心考点
举一反三
某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为C=-3q2+20q+10(q＞0)．该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：
| 市场情形 | 概率 | 价格p与产量q的函数关系式 | | 好 | 0.4 | p=164-3q | | 中 | 0.4 | p=101-3q | | 差 | 0.2 | p=70-3q | 已知函数f（x）=ax3-cx，x∈[-1，1]．
（I）若a=4，c=3，求证：对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1；
（II）若对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1，求证：|a|≤4． | 已知平面向量=(，-)，=(，)，若存在不为零的实数m，使得：=+2x，=-y+(m-2x2)，且⊥，
（1）试求函数y=f（x）的表达式；
（2）若m∈（0，+∞），当f（x）在区间[0，1]上的最大值为12时，求此时m的值． | （1）设函数f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值；
（2）设正数p1，p2，p3，…，p2n满足p1+p2+p3+…+p2n=1，求证：p1lnp1+p2lnp2+p3lnp3+…+p2nlnp2n≥-n． | 已知函数f（x）的导函数f′（x）=-3x2+6x+9．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． |
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