题目
题型:不详难度:来源:
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)如果对于任意的x∈[0,
π |
2 |
(3)设函数F(x)=f(x)+excosx,x∈[-
2011π |
2 |
2013π |
2 |
π-1 |
2 |
答案
f′(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)=
2 |
π |
4 |
当x+
π |
4 |
π |
4 |
3 |
4 |
当x+
π |
4 |
3 |
4 |
7 |
4 |
所以f(x)的单调递增区间为(2kπ-
π |
4 |
3 |
4 |
单调递减区间为(2kπ+
3 |
4 |
7 |
4 |
(2)令g(x)=f(x)-kx=exsinx-kx,要使f(x)≥kx总成立,只需在x∈[0,
π |
2 |
对g(x)求导得g′(x)=ex(sinx+cosx)-k,
令h(x)=ex(sinx+cosx),则h′(x)=2excosx>0,(x∈(0,
π |
2 |
所以h(x)在在[0,
π |
2 |
π |
2 |
对k分类讨论:
①当k≤1时,g′(x)≥0恒成立,所以g(x)在[0,
π |
2 |
即g(x)≥0恒成立;
②当1<k<e
π |
2 |
π |
2 |
所以当x∈(0,x0)时,g′(x)<0,所以g(x0)<g(0)=0,不符合题意;
③当k≥e
π |
2 |
π |
2 |
则g(x)<g(0)=0,不符合题意.
综合①②③可得,所求的实数k的取值范围是(-∞,1].
(3)因为F(x)=f(x)+excosx=ex(sinx+cosx),所以F′(x)=2excosx,
设切点坐标为(x0,ex0(sinx0+cosx0)),则斜率为f′(x0)=2ex0cosx0,
切线方程为y-ex0(sinx0+cosx0)=2ex0cosx0(x-x0),
将M(
π-1 |
2 |
-ex0(sinx0+cosx0)=2ex0cosx0(
π-1 |
2 |
-tanx0-1=-2(x0-
π-1 |
2 |
π |
2 |
令y1=tanx,y2=2(x-
π |
2 |
π |
2 |
它们交点的横坐标也关于
π |
2 |
方程tanx=2(x-
π |
2 |
2011π |
2 |
2013π |
2 |
即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列{xn}的项也关于
π |
2 |
在[-
2011π |
2 |
2013π |
2 |
因此数列{xn}的所有项的和S=1006π.
核心考点
试题【已知函数f(x)=exsinx.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)如果对于任意的x∈[0,π2],f(x)≥kx总成立,求实数k的取值范围;(3)设函数F(】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
π |
2 |
A.(-∞,0] | B.(-∞,
| C.(-∞,1] | D.(-∞,e] |
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2 |
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
| ||
2 |
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