题目
题型:不详难度:来源:
(1)求函数g(x)=f(x)-ax2-x的单调区间及最大值;
(2)当x∈[0,+∞)时,不等式f(x)≤x恒成立,求实数a的取值范围.
(3)求证:(1+
1 |
22 |
1 |
3^ |
1 |
42 |
1 |
52 |
1 |
n2 |
参考导数公式:(ln(x+1))′=
1 |
x+1 |
答案
所以g′(x)=
1 |
x+1 |
x |
x+1 |
当-1<x<0时,g′(x)>0,当x>0时,g′(x)<0,
故函数g(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,+∞).
g(x)max=g(0)=ln1=0.
(2)因为当x∈[0,+∞)时,不等式f(x)≤x恒成立,即ax2+ln(x+1)-x≤0恒成立,
设g(x)=ax2+ln(x+1)-x(x≥0),只需g(x)max≤0即可.
g′(x)=2ax+
1 |
x+1 |
x[2ax+(2a-1)] |
x+1 |
①当a=0时,g′(x)=
-x |
x+1 |
②当a>0时,由g′(x)=
x[2ax+(2a-1)] |
x+1 |
1 |
2a |
1°若
1 |
2a |
1 |
2 |
g(x)在[0,+∞)上无最大值,此时不满足条件;
2°若
1 |
2a |
1 |
2 |
1 |
2a-1 |
1 |
2a-1 |
③当a<0时,由g′(x)=
x[2ax+(2a-1)] |
x+1 |
∴g′(x)<0,故函数g(x)在[0,+∞)上单调递减,故g(x)≤g(0)=0成立.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,0].
(3)由(1)知ln(x+1)≤x,令x=
1 |
n2 |
1 |
n2 |
1 |
n2 |
1 |
n•n |
1 |
(n-1)n |
1 |
n-1 |
1 |
n |
所以ln(1+
1 |
22 |
1 |
32 |
1 |
n2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n-1 |
1 |
n |
1 |
n |
所以ln(1+
1 |
22 |
1 |
32 |
1 |
n2 |
所以(1+
1 |
22 |
1 |
32 |
1 |
n2 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).(1)求函数g(x)=f(x)-ax2-x的单调区间及最大值;(2)当x∈[0,+∞)时,不等式f(x)≤x恒成立,求】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求出x与y的关系式;
(2)求该铁皮盒体积V的最大值.
1 |
2 |
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)在[
1 |
e |
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)当直线BC与y轴平行时,设B点的横坐标为x,四边形ABDC的面积为f(x),求f(x)的解析式;
(Ⅲ)若对任意的正数b,关于x的不等式
2f(x) |
ex-1 |
xb |
em |
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