题目
题型:不详难度:来源:
a |
x |
(Ⅰ)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;
(Ⅱ)若f(x)在[1,e]上的最小值为
3 |
2 |
(Ⅲ)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
答案
1 |
x |
a |
x2 |
x+a |
x2 |
∵a>0,
∴f"(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数 …(4分)
(II)由(I)可知,f′(x)=
x+a |
x2 |
(1)若a≥-1,则x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,
∴[f(x)]min=f(1)=-a=
3 |
2 |
∴a=-
3 |
2 |
(2)若a≤-e,则x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,
∴[f(x)]min=f(e)=1-
a |
e |
3 |
2 |
e |
2 |
(3)若-e<a<-1,令f"(x)=0得x=-a,当1<x<-a时,f"(x)<0,
∴f(x)在(1,-a)上为减函数,f(x)在(-a,e)上为增函数,
∴[f(x)]min=f(-a)=ln(-a)+1=
3 |
2 |
e |
∴[f(x)]min=f(-a)=ln(-a)+1=
3 |
2 |
∴a=-
e |
综上所述,a=-
e |
(III)∵f(x)<x2
∴lnx-
a |
x |
又x>0,∴a>xlnx-x3…(9分)
令g(x)=xlnx-x3,h(x)=g′(x)=1+lnx-3x2,
∴h"(x)=
1 |
x |
1-6x2 |
x |
∴h(x)在(1,+∞)上是减函数,…(10分)
∴h(x)<h(1)=-2<0
即g"(x)<0∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数,
∴g(x)在(1,+∞)上是减函数
∴g(x)<g(1)=-1
∴当a≥-1时,f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立.…(12分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx-ax;(Ⅰ)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;(Ⅱ)若f(x)在[1,e]上的最小值为32,求a的值;(Ⅲ)若f(x)<x2】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
3 |
(1)若x=1为f(x)的极值点,求a的值.
(2)若y=f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,求f(x)在区间[-2,4]上的最大值.
(1)求函数在区间[-4,4]上的单调性.
(2)求函数在区间[-4,4]上的极大值和极小值与最大值和最小值.
x |
ex |
2 |
e |
(Ⅰ)求函数f(x)的最小值;
(Ⅱ)证明:对任意m,n∈(0,+∞),都有f(m)≥g(n)成立.
x2+2x+a |
x |
(1)当a=
1 |
2 |
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>1恒成立,试求实数a的取值范围.
A.0≤a<1 | B.0<a<1 | C.-1<a<1 | D.0<a<
|
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