题目

题型：期中题难度：来源：

定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x₁，x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，则称函数y=f（x）为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”。试问函数，f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R）是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由。

答案

解：因为，
函数的导数是，
当3x²-1=0即x=±，
当0<x<时，f′（x）=3x²1<0，
当x>时，f′（x）=3x²1>0，
故f（x）在[0，1]内的极小值是；
同理f（x）在[-1，0]内的极大值是；
因为f（1）=f（-1）=a，
所以函数的最小值是，最大值是，
故，
所以函数是“妈祖函数”。