题目

题型：江苏期末题难度：来源：

已知函数．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）＜g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）求导函数，可得f′（x）=2ax+（x∈（0，+∞））
∵函数f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（x）=0，∴2a+1=0，
∴∴f′（x）=﹣x+
令f′（x）＞0，x＞0可得0＜x＜1
∴函数f（x）的单调增区间为（0，1）；
（2）构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），
则F′（x）=f′（x）﹣g′（x）=2ax+﹣x﹣2a=
若a≥1，则x＞1时，F′（x）＞0，函数在（1，+∞）上单调增，F（x）＜0不恒成立；
若＜a＜1，则函数在（1，）上F′（x）＜0，在（，+∞）上F′（x）＞0，
∴F（x）＜0不恒成立；
若a，则x＞1时，F′（x）＜0，函数在（1，+∞）上单调减，
故只需要F（1）≤0
∴a﹣﹣2a≤0
∴a≥﹣
∴