题目
题型:湖北省期中题难度:来源:
(1)确定b,c的值;
(2)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2).
证明:当x1≠x2时,f ′(x1)≠f ′(x2);
(3)若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线,求a的取值范围.
答案
又由曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,得f(0)=1,f ′(0)=0,故b=0,c=1.
(2)f(x)=x3-x2+1,f ′(x)=x2-ax,由于点(t,f(t))处的切线方程为y-f(t)=f ′(t)(x-t),
而点(0,2)在切线上,所以2-f(t)=f ′(t)(-t),化简得t3-t2+1=0,
即t满足的方程为t3-t2+1=0,
下面用反证法证明:假设f ′(x1)=f ′(x2),
由于曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2),则下列等式成立:
由③得x1+x2=a,由①-②得x12+x1x2+x22=a2④
又x12+x1●x2+x22=(x1+x2)2-x1x2=a2-x1(a-x2)=x12-ax1+a2=(x1-)2+a2≥a2
故由④得,x1=,此时x2=与x1≠x2矛盾,所以f ′(x1)≠f ′(x2).
(3)由(2)知,过点(0,2)可作y=f(x)的三条切线,等价于方程2-f(t)=f ′(t)(0-t)有三个相异的实根,即等价于方程t3-t2+1=0有三个相异的实根.
设g(t)=t3-t2+1,则g′(t)=2t2-at=2t(t-)
由于a>0,故有
由g(t)的单调性可知:要使g(t)=0有三个相异的实根,当且仅当1-<0,即a>,
∴a的取值范围是(,+∞)
核心考点
试题【设函数f(x)=x3-x2+bx+c,其中a>0,曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1.(1)确定b,c的值;(2)设曲线y=f(x】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
π |
3 |
| ||
2 |
A.0是f(x)的极大值,也是g(x)的极大值 |
B.0是f(x)的极小值,也是g(x)的极小值 |
C.0是f(x)的极大值,但不是g(x)的极值 |
D.0是f(x)的极小值,但不是g(x)的极值 |
A.y=
| B.y=x
| C.y=2 | D.y=x3 |
lim |
n→∞ |
1 |
n+1 |
1 |
n+2 |
1 |
2n |
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