已知函数f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,a∈R. (Ⅰ)若a=1,求函数y=f(x)在x=2处的切线方程; (Ⅱ)若a∈[0,1],设h(x)=f(x)-f"(x)(其中f"(x)是函数f(x)的导函数),求函数h(x)在区间[0,1]的最大值; (Ⅲ)若a=1,试判断当x>1时,方程f(x)=x实数根的个数. |
(Ⅰ)若a=1,则f(x)=(x2-2x+1)ex,f′(x)=(x 2-1)ex ∴切线的斜率k=f′(2)=3e2 又切点的坐标为(2,e2), ∴切线方程为y-e2=3e2(x-2),即3e2x-y-5e2=0 (Ⅱ)由f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex 得h(x)=f(x)-f"(x)=[-2ax+(a+1)]ex ,h′(x)=(-2ax-a+1)ex ,(1)当a=0时,h′(x)=ex>0对x∈[0,1]恒成立,所以h(x)在[0,1]上单调递增,h(x)max=h(1)=e
(2)当a∈(0,1]时,由h′(x)=0,得x=-≥0 ①当-≥1时,即a∈(0,]时,h′(x)≥0对x∈[0,1]恒成立,h(x)在[0,1]上单调递增,h(x)max=h(1)=(1-a)e ②当1>->0时,即a∈(,1)时,h(x)在[0,-)上单调递增,在(-,1]上单调递减,h(x)max=h(-)=2ae ③当-=0时,即a=1时,h′(x)≤0对x∈[0,1]恒成立,h(x)在[0,1]上单调递减,h(x)max=h(0)=a+1 综上,当a=0时,h(x)max=e,当a∈(0,]时,h(x)max=)=(1-a)e 当a∈(,1)时,h(x)max=2ae,当a=1时,h(x)max=a+1. (Ⅲ)由(Ⅰ)知,问题可转换为判定方程(x-1)2ex=x,x>1的实根的个数.设φ(x)=(x-1)2ex-x,则φ′(x)=(x2-1)ex-1,再设k(x)=(x2-1)ex-1,x>1,则k′(x)=ex(x2+2x-1) x>1时,k′(x)>0,k(x)在(1,+∞)上单调递增,又k(1)=-1<0,k(2)=3e2-1>0,所以在(1,2)上存在唯一x0,使得k(x0)=0即存在唯一x0,使得φ′(x0)=0. 从而φ(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,φ(x0)<φ(1)=-1<0,又φ(2)=e2-2>0故y=φ(x)的大致图象如图所示. 因此y=φ(x)在(1,+∞)上只能有一个零点.即当x>1时,f(x)=x只有一个实根. |
核心考点
试题【已知函数f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,a∈R.(Ⅰ)若a=1,求函数y=f(x)在x=2处的切线方程;(Ⅱ)若a∈[0,1],设h(x)=f(x)】;主要考察你对
函数极值与最值等知识点的理解。
[详细]
举一反三
函数f(x)=sinx在x=处的切线方程是( )A.y-=(x-) | B.y-=(x-) | C.y-=(x-) | D.y-=(x-) |
|
已知函数y=x3-x2+2a2x+1在区间(-2,1)上有极大值,则实数a的取值范围是( )A.(-1,0)∪(0,1) | B.(-2,0)∪(0,1) | C.(-2,1) | D.(-1,) |
|
已知a>0,b>0,抛物线f(x)=4ax2+2bx-3在x=1处的切线的倾斜角为,则+的最小值是______. |
设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线,y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线率为2. (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)证明:f(x)≤2x-2. |
已知函数f(x)=x3-ax2-bx的图象与x轴切于点(1,0),则f(x)的极值为( )A.极大值,极小值0 | B.极大值0,极小值 | C.极小值-,极大值0 | D.极大值-,极小值0 |
|