题目

题型：上海难度：来源：

设数列{a_n}是公比为q＞0的等比数列，S_n是它的前n项和，若

lim

n→+∞

Sn=7，则此数列的首项a₁的取值范围为______．

答案

若该等比数列是一个递增的等比数列，则Sn不会有极限． 因此这是一个无穷递缩等比数列，
设公比为q，则0＜|q|＜1 亦即，-1＜q＜0且0＜q＜1．
而等比数列前n项和Sn=

a1(1-qn)

1-q

，
由于其中0＜q＜1，因此

lim

n→∞

qn=0，
而根据极限的四项运算法则有，

lim

n→+∞

Sn= 

a1

1-q

 =7，
因此a₁=7（1-q）=7-7q 解得a₁∈（0，7）．
故答案为：（0，7）．