题目
题型:湖南难度:来源:
x-a |
x+2a |
(I)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;
(II)是否存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
a-x |
x+2a |
x-a |
x+2a |
∴当0≤x≤a时,f′(x)=
-3a |
(x+2a)2 |
当x>a时,f′(x)=
3a |
(x+2a)2 |
①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=
1 |
2 |
②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增
∴g(a)=max{f(0),f(4)}
∵f(0)-f(4)=
1 |
2 |
4-a |
4+2a |
a-1 |
2+a |
∴当0<a≤1时,g(a)=f(4)=
4-a |
4+2a |
1 |
2 |
综上所述,g(a)=
|
(II)由(I)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求;
当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增,若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2),使曲线y=f(x)在
两点处的切线互相垂直,则x1∈(0,a),x2∈(a,4),且f′(x1)f′(x2)=-1
∴
-3a |
(x1+2a)2 |
3a |
(x2+2a)2 |
∴x1+2a=
3a |
x2+2a |
∵x1∈(0,a),x2∈(a,4),
∴x1+2a∈(2a,3a),
3a |
x2+2a |
3a |
4+2a |
∴①成立等价于A=(2a,3a)与B=(
3a |
4+2a |
∵
3a |
4+2a |
1 |
2 |
综上所述,存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是(0,
1 |
2 |
核心考点
试题【已知a>0,函数f(x)=|x-ax+2a|.(I)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;(II)是否存在a使函数y=f(x)在区】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
a |
ex |
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值;
(Ⅲ)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.
A.y=x+1 | B.y=1 | C.x=0 | D.不存在 |
A.1 | B.2 | C.
| D.
|
A.9 | B.6 | C.-9 | D.-6 |
lnx |
x |
(Ⅰ)求l的方程;
(Ⅱ)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方.
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