题目
题型:福建难度:来源:
a |
ex |
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值;
(Ⅲ)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.
答案
a |
ex |
a |
ex |
∴f′(1)=0,即1-
a |
e |
(Ⅱ)f′(x)=1-
a |
ex |
①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以f(x)无极值;
②当a>0时,令f′(x)=0,得ex=a,x=lna,
x∈(-∞,lna),f′(x)<0;x∈(lna,+∞),f′(x)>0;
∴f(x)在∈(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,
故f(x)在x=lna处取到极小值,且极小值为f(lna)=lna,无极大值.
综上,当当a≤0时,f(x)无极值;当a>0时,f(x)在x=lna处取到极小值lna,无极大值.
(Ⅲ)当a=1时,f(x)=x-1+
1 |
ex |
1 |
ex |
则直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,
等价于方程g(x)=0在R上没有实数解.
假设k>1,此时g(0)=1>0,g(
1 |
k-1 |
1 | ||
e
|
又函数g(x)的图象连续不断,由零点存在定理可知g(x)=0在R上至少有一解,与“方程g(x)=0在R上没有实数解”矛盾,故k≤1.
又k=1时,g(x)=
1 |
ex |
所以k的最大值为1
核心考点
试题【已知函数f(x)=x-1+aex(a∈R,e为自然对数的底数).(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.y=x+1 | B.y=1 | C.x=0 | D.不存在 |
A.1 | B.2 | C.
| D.
|
A.9 | B.6 | C.-9 | D.-6 |
lnx |
x |
(Ⅰ)求l的方程;
(Ⅱ)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方.
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