已知函数f（x）=x3-（1+b）x2+bx，b∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y-3=0平行，求b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）在区间[0，3]上的最值． |
（Ⅰ）f′（x）=3x2-2（1+b）x+b，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y-3=0平行，
∴f′（1）=3-2（1+b）+b=-1，解得b=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x3-3x2+2x，f′（x）=3x2-6x+2，
令f′（x）=3x2-6x+2=0，解得x1=1-，x2=1+．
在区间[0，3]上，x，f′（x），f（x）的变化情况如下：| x | 0 | （0，x1） | x1 | （x1，x2） | x2 | （x2，3） | 3 | | f′（x） | | + | 0 | - | 0 | + | | | f（x） | 0 | 递增 | | 递减 | - | 递增 | 6 |
核心考点
试题【已知函数f（x）=x3-（1+b）x2+bx，b∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y-3=0平行，求b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下】；主要考察你对 函数极值与最值等知识点的理解。 [详细]举一反三
已知函数y=ax3+bx2，当x=1时，有极大值3．
（1）求a，b的值；
（2）求函数y的极小值． | 已知m、n∈（0，+∞），m+n=1，+(b＞0）的最小值恰好为4，则曲线f（x）=ax2-bx在点（1，0）处的切线方程为（ ）| A．x-y-1=0 | B．x-2y-1=0 | C．3x-2y+3=0 | D．4x-3y+1=0 |
| 已知曲线方程f（x）=sin2x+2ax（a∈R），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是（ ）| A．（-∞，-1）∪（-1，0） | B．（-∞，-1）∪（0，+∞） | | C．（-1，0）∪（0，+∞） | D．a∈R且a≠0，a≠-1 |
| | 若函数f(x)=(n∈N*)图象在点（1，1）处的切线为ln，ln在x轴，y轴上的截距分别为an，bn，则数列{25an+bn}的最大项为______． | 已知a为实数，函数f(x)=(x2+)(x+a)，若函数f（x）的图象在某点处存在与x轴平行的切线，则a的取值范围是（ ）| A．(-∞，-)∪[，+∞) | B．(-∞，-]∪(，+∞) | | C．(-∞，-) | D．(-∞，-]∪[，+∞) |
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