题目

题型：宁波模拟难度：来源：

已知曲线f（x）=x³+ax²+bx+1，（a，b∈R）在（1，2）处的切线方程是y=4x-2，则函数y=f（x）的极大值为______．

答案

因为f（x）=x³+ax²+bx+1，所以f′（x）=3x²+2ax+b，
令x=1得f′（1）=3+2a+b．
由已知f′（1）=4，所以3+2a+b=4．即2a+b=1…①
又（1，2）是曲线f（x）=x³+ax²+bx+1上的点，得2=1+a+b+1，a+b=0…②．
解①②得．a=1，b=-1，
所以f（x）=x³+x²-x+1；
∴f′（x）=3x²+2x-1；
令f′（x）=0，即3x²+2x-1=0．解得x=-1，或x=

1

3

，
x∈（-∞，-1）函数是增函数，x∈（-1，

1

3

）时函数是减函数；x∈(

1

3

，+∞)，函数是增函数，
所以x=-1时函数取得绝对值，
f（-1）=（-1）³+（-1）²-（-1）+1=2．
故答案为：2．