已知函数f（x）=lnx+x2+ax．（I）当a=-4时，求方程f（x）+x2=0在（1，+∞）上的根的个数；（II）若f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=lnx+x²+ax．
（I）当a=-4时，求方程f（x）+x²=0在（1，+∞）上的根的个数；
（II）若f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．

答案

（I）当a=-4时，令g（x）=f（x）+x²=lnx+2x²-4x，
只要求出g（x）在区间（1，+∞）上的零点的个数即可，
由g′（x）=

+4x-4=

(2x-1)2

在（1，+∞）上恒大于0可知，
g（x）在区间（1，+∞）上是单调递增的函数，
又由g（1）=-2＜0，g（2）=ln2＞0，
故g（x）在区间（1，+∞）上恰有1个零点；
（II）由题意可得g′（x）=

+2x+a=

2x2+ax+1

在（0，+∞）上恰有两个互不相等的零点即可，
只需对分子上的二次函数有

＞0

△=a2-8＞0

，解得a＜-2

核心考点

试题【已知函数f（x）=lnx+x2+ax．（I）当a=-4时，求方程f（x）+x2=0在（1，+∞）上的根的个数；（II）若f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

过曲线y=x³+

上的点（1，2）的切线方程是（　　）

A．y=2x

B．y=2x+3

C．y=4x-2

D．y=2x-3

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函数y=cosx在点（

，

）处的切线斜率为（　　）

A．-

B．

C．-

D．-

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已知函数f（x）=x²-6x+4lnx．
（1）给出两类直线：6x+y+m=0与3x-y+n=0，其中m，n为常数，判断这两类直线中是否存在y=f（x）的切线．若存在，求出相应的m或n的值；若不存在，说明理由．
（2）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x₀，h（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x₀，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．试问y=f（x）是否存在“类对称点”．若存在，请求出“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由．

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设a=

∫

π0

sinxdx，则曲线y=xa^x+ax-2在x=1处切线的斜率为______．

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设a、b∈R，若a+4i=3+bi，则

lim

n→∞

an-bn

an+bn

=______．

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