已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；
（Ⅱ）证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；
（Ⅲ）讨论函数y=f（x）零点的个数． |
（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′(x)=-a，…（1分）
f（1）=-a+1，所以切线斜率k=f"（1）=1-a，所以切线l的方程为
y-（1-a）=（1-a）（x-1），即y=（1-a）x． …（3分）
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，则F"（x）=-1==0，解得x=1．
| x | （0，1） | 1 | （1，+∞） | | F"（x） | + | 0 | - | | F（x） | ↗ | 最大值 | ↘ |
核心考点
试题【已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）证明：函数y=f（x）（x≠1）的】；主要考察你对 函数极值与最值等知识点的理解。 [详细]举一反三
函数y=lnx在x=1处的切线方程为（ ）| A．x-y+1=0 | B．x-y-1=0 | C．x+y+1=0 | D．x+y-1=0 |
| | 1+a+a2+a3+…+an-1 | | 1+b+b2+b3+…+bn-1 |
(1＜|a|＜|b|)=______． | 已知三次函数f（x）=ax3-x2+x在（0，+∞）存在极大值点，则a的范围是（ ）| A．(0，) | B．(0，] | C．(-∞，) | D．(-∞，0)∪(0，) |
| | 已知函数f(x)=x3+ax2+x在R上不存在极值点，则a的取值范围是______． | 已知函数f（x）=x3-3ax-1在x=-1处取得极值．
（1）求a的值，并求f（x）在区间[-2，3]上的值域．
（2）若直线y=9x+m与y=f（x）的图象有三个不同的公共点，求m的取值范围． |
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