题目

题型：不详难度：来源：

已知三次函数f（x）=ax³-x²+x在（0，+∞）存在极大值点，则a的范围是（　　）

A．(0， 1 3 )

B．(0， 1 3 ]

C．(-∞， 1 3 )

D．(-∞，0)∪(0， 1 3 )

答案

由题意知，f′（x）=3ax²-2x+1，
∵三次函数f（x）=ax³-x²+x在（0，+∞）存在极大值点，
∴f′（x）=3ax²-2x+1=0有两个不同的正实数根或一正一负根，
①当a＞0时，此时3ax²-2x+1=0有两个不同的正实数根，
∴

△=4-4×3a×1＞0 2 3a ＞0 1 3a ＞0

，即0＜a＜

1

3

，
②当a＜0时，此时3ax²-2x+1=0有一正一负根，
只须△＞0，即4-12a＞0，⇒a＜

1

3

，
∴a＜0
综上，则a的范围是(-∞，0)∪(0，

1

3

)
故选D．