题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
设函数
（Ⅰ）研究函数的极值点；
（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有，求p的取值范围；
（Ⅲ）证明：

答案

（Ⅰ）略
（Ⅱ）p的取值范围为[1，+∞
（Ⅲ）略

解析

解：（I），…1分
  …………2分
当 上无极值点 …………4分
当p>0时，令的变化情况如下表：

x	(0，)
	+	0	－
	↗	极大值	↘

从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点 ………………7分
（Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，…8分
此极大值也是最大值，要使恒成立，只需，…9分    
∴，即p的取值范围为[1，+∞  …………………10分
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，
∴，∴  …………11分
∴  12分

,∴结论成立  …………………14分
另解：设函数，则，令，解得，则
∴
==（