题目

题型：福建省模拟题难度：来源：

已知函数，
(Ⅰ)求函数f(x)在定义域上的单调区间；
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)-a=0恰有两个不同实数解，求实数a的取值范围；
(Ⅲ)已知实数x₁，x₂∈(0，1]，且x₁+x₂=1，若不等式f(x₁)·f(x₂)≤x-ln(x-p)在x∈(p，+∞)上恒成立，求实数p的最小值．

答案

解：(Ⅰ)当x＞2时，是常数，不是单调函数，
当时，，
∴，
∴函数f（x）的单调增区间是，单调减区间是。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，
方程恰有两个实数解，等价于直线y=a与曲线恰有两个交点，
所以，。
(Ⅲ)∵，
当时，有，
∴此时有成立；
下面先证，
先求函数在处的切线方程，
∵，
∴切线方程为，
下面证明：
成立，
令，
则，
易得在单调递增，在单调递减，
∴，
∴成立，
∴

，
当且仅当时取等号，
∴，∴，
设，则，且x＞p，
令g′(x)=0，得x=p+l，
当p＜x＜p+1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；
当x＞p+1时，g′(x)＞0，此时g(x)单调递增，
∴h(x)_min=h(p+1)=p+1，
要使不等式f（x₁）·f（x₂）≤x-ln(x-p)在x∈(p，+∞)时恒成立，
只需，
∴，得，
∴实数p的最小值为。