题目

题型：安徽省高考真题难度：来源：

设a为实数，函数f(x)=e^x-2x+2a，x∈R，
(Ⅰ)求f(x)的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当a＞ln2-1且x＞0时，e^x＞x²-2ax+1。

答案

(Ⅰ)解：由f(x)=e^x-2x+2a，x∈R知f′(x)=e^x-2，x∈R，
令f′(x)=0，得x=ln2，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

故f(x)的单调递减区间是(-∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，+∞)，
f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)=e^ln2-21n2+2a=2(1-ln2+a)。
(Ⅱ)证明：设g(x)=e^x-x²+2ax-1，x∈R，
于是g′(x)=e^x-2x+2a，x∈R，
由(Ⅰ)知当a＞ln2-1时，g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)＞0，
于是对任意x∈R，都有g′(x)＞0，所以g(x)在R内单调递增；
于是当a＞ln2-1时，对任意x∈(0，+∞)，都有g(x)＞g(0)，
而g(0)=0，
从而对任意x∈(0，+∞)，g(x)＞0，
即e^x-x²+2ax-1＞0，故e^x＞x²-2ax+1。