题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知函数f(x)=(x²-a)e^x，
(Ⅰ)若a=3，求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)已知x₁，x₂是f(x)的两个不同的极值点，且|x₁+x₂|≥|x₁x₂|，若3f(a)＜a³+a²-3a+b恒成立，求实数b的取值范围。

答案

解：（1）∵a=3，∴，
，解得x=-3或1，
令f′(x)＞0，解得x∈(-∞，-3)∪(1，+∞)；令f′(x)＜0，解得x∈(-3，1)，
∴f(x)的增区间为(-∞，-3)，(1，+∞)，减区间为(-3，1)。
（2），即，
由题意两根为，
∴，
又，
∴-2≤a≤2，且△=4+4a＞0，
∴-1＜a≤2，
设，
或a=0，

又g(0)=0，，
∴。