题目
题型:专项题难度:来源:
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若k=2010,关于x的方程f(x)=2ax有唯一解,求a的值.
答案
当k是奇数时,则f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;
当k是偶数时,则f′(x)=,
所以当x∈时,f′(x)<0,当x∈时,f′(x)>0,
故当k是偶数时,f(x)在上是减函数,在上是增函数.
(Ⅱ)若k=2010,则f(x)=x2-2alnx(k∈N*),
记g(x)=f(x)-2ax=x2-2alnx-20x,
g′(x)=,
若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解;
令g′(x)=0,得x2-ax-a=0,
因为a>0,x>0,所以(舍去),,
当x∈(0,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)是单调递减函数;
当x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上是单调递增函数.
当x=x2时,g′(x2)=0,g(x)min=g(x2).
因为g(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0,
则,即,
两式相减,得2alnx2+ax2-a=0,
因为a>0,
∴2lnx2+x2-1=0, (*)
设函数h(x)=21nx+x-1,
因为在x>0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解,
因为h(1)=0,
所以方程(*)的解为x2=1,从而解得。
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2-2acoskπ·lnx(k∈N*,a∈R,且a>0), (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)若k=2010,关于x的方程f(x)=2a】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)证明:若a<5,则对任意x1,x2∈(0,+∞)x1≠x2,有。
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若k>0,求不等式f′(x)+k(1-x)f(x)>0的解集。
(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值。
(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;
(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=2x+x3的两个非零实根为x1、x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由。
(Ⅰ)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);
(Ⅱ)讨论f(t)的单调性,并求f(t)的最大值。
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