题目
题型:北京模拟题难度:来源:
(1)求函数g(x)=f(x)-ex的单调区间;
(2)记曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))(其中x0<0)处的切线为l,l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S,求S的最大值。
答案
所以g"(x)=ex-e,
由g"(x)=ex-e=0,得x=1,
所以,在区间(-∞,1)上,g"(x)<0,
函数g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;
在区间(1,+∞)上,g"(x)>0,
函数g(x)在区间(1,+∞)上单调递增;
即函数g(x)的单凋递减区间为(-∞,1),
单调递增区间为(1,+∞)。
(2)因为f"(x)=ex,
所以曲线y=f(x)在点P处切线为l:
切线l与x轴的交点为(x0-1,0),
与y轴的交点为
因为x0<0,
所以
S"=
在区间(-∞,-1)上,函数S(x0)单调递增,在区间(-1,0)上,函数S(x0)单调递减,
所以,当x0=-1时,S有最大值,此时
所以,S的最大值为。
核心考点
试题【设函数f(x)=ex,其中e为自然对数的底数。(1)求函数g(x)=f(x)-ex的单调区间;(2)记曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))(其中x0<0)】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若a=2,求证:f(x)在(1,+∞)上是增函数;
(2)求f(x)在[1,+∞)上的最小值。
(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数;
(Ⅱ)当t>-2时,判断f(-2)和f(t)的大小,并说明理由;
(Ⅲ)求证:当1<t<4时,关于x的方程:(t-1)2在区间[-2,t]上总有两个不同的解。
已知函数,。
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)求证:当x>1时,f(x)>g(x);
(3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求证:f(x1)>f(2-x2)。
(Ⅰ)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;
(Ⅱ)若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求p的取值范围。
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