题目
题型:0113 期中题难度:来源:
(Ⅰ)设g(x)=f′(x),求函数g(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知a>0,0<x<a,使得a+xlnx>0,试研究a>0时函数y=f(x)的零点个数。
答案
,
∴,
∴,
①当a≤0时,g′(x)>0恒成立,∴g(x)的递增区间为(0,+∞);
②当a>0时,,
∴g(x)的递减区间为(0,a),递增区间为(a,+∞);
(Ⅱ)a>0时,由(Ⅰ)知,f′(x)的递减区间为(0,a),递增区间为(a,+∞),
∴,
①当lna+1≥0,即时,有f′(x)≥0恒成立,
∴f(x)为(0,+∞)上的增函数,
又,,
∴,
∴,使得,
∵f(x)为(0,+∞)上的增函数,
∴为f(x)的唯一的零点;
②当时,,
由条件提供的命题:“,使得a+xlnx>0” 为真命题,
即,使得,
所以,使得,
∵f′(x)在区间(0,a)上为减函数,
∴,
又,
∴,
∴,使得,
∵f′(x)在区间(a,+∞)上为增函数,
∴,
所以,f(x)的递增区间为和,递减区间为,
,
∴,
∴,
∵f(x)在上为递减函数,
∴,
∴恒成立,
,
∴在区间上,函数f(x)有且只有一个零点;
综上,a>0时,函数f(x)有且只有一个零点。
核心考点
试题【设函数f(x)=(x+a)lnx-x+a,(Ⅰ)设g(x)=f′(x),求函数g(x)的单调区间;(Ⅱ)已知a>0,0<x<a,使得a+xlnx>0,试研究a>】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数f(x)的极值;
(2)求证:当x>1时,f(x)>g(x);
(3)如果x1<x2,且f(x1)=f(x2),求证:f(x1)>f(2-x2)。
(Ⅰ)求函数F(x)的单调区间;
(Ⅱ)若以函数y=F(x)(x∈(0,3])图像上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k≤恒成立,求实数a的最小值;
(Ⅲ)是否存在实数m,使得函数y=+m-1的图像与函数y=f(1+x2)的图像恰有四个不同的交点?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由。
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有两个零点,求实数的取值范围;
(3)若函数f(x)的最小值为h(a),m,n为h(a)定义域A中的任意两个值,求证:。
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