题目

题型：广东省月考题难度：来源：

设函数f（x）=a²lnx-x²+ax，a≠0。
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（1）≥e-1，求使f（x）≤e²对x∈[1，e]恒成立的实数a的值。（注：e为自然对数的底数）

答案

解：（Ⅰ）因为f（x）=a²lnx-x²+ax，其中x＞0，
所以f′（x）=-2x+a=
当a＞0时，由f（x）＞0，得0<x<a，
∴f（x）的增区间为（0，a）；
当a＜0时，由f（x）＞0，得，
∴f（x）的增区间为（0，）；
（Ⅱ）由 f（1）=a-1≥e-1，即a≥e，
由（Ⅰ）知f（x）在[1，e]内单调递增，
要使f（x）≤e²对x∈[1，e]恒成立，
只要，则，
∴，
∴，
∴a≤e，得a=e。