题目

题型：广东省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1。
 （I）讨论函数f（x）的单调性；
 （Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|。

答案

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为

当a≥0时，，故f（x）在单调增加
当a≤-1时，，故f（x）在单调减少
当-1<a<0时，令，解得
则当时，
时，
故f（x）在单调增加，在单调减少；
（Ⅱ）不妨假设x₁>x₂
由于a≤-2，故f（x）在（0，+∞）单调减少
所以|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|等价于 f（x₂）-f（x₁）≥4x₁-4x₂
即f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁
令g（x）=f（x）+4x，则

于是
从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x₁）≤g（x₂）
即f（x₁）+4x₁≤f（x₂）+4x₂
故对任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|。