题目

题型：模拟题难度：来源：

已知常数a>0，n为正整数，f_n（x）=xⁿ-（x+a）ⁿ（x>0）是关于x的函数，
（1）判定函数f_n（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）对任意n≥a，证明f_n+1′（n+1）<（n+1）f_n′（n）。

答案

解：（1）f_n′（x）=nx^n-1-n（x+a）^n-1=n[x^n-1-（x+a）^n-1]，
∵a>0，x>0，
∴f_n′（x）<0，
∴f_n（x）在（0，+∞）单调递减。
（2）由上知：当x>a>0时，f_n（x）=xⁿ-（x+a）ⁿ是关于x的减函数，
∴当n≥a时，有：（n+1）ⁿ-（n+1+a）ⁿ≤nⁿ-（n+a）ⁿ，
又∵f_n+1′（x）=（n+1）[xⁿ-（x+a）ⁿ]，
∴f_n+1′（n+1）=（n+1）[（n+1）ⁿ-（n+1+a）ⁿ]<（n+1）[nⁿ-（n+a）ⁿ]
=（n+1）[nⁿ-（n+a）（n+a）^n-1]
（n+1）f_n′（n）=（n+1）n[n^n-1-（n+a）^n-1]=（n+1）[nⁿ-n（n+a）^n-1]，
∵（n+a）>n，
∴f_n+1′（n+1）<（n+1）f_n′（n）。