题目

题型：四川省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=x³+3ax﹣1的导函数为f ′（x），g（x）=f ′（x）﹣ax﹣3．
（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对满足﹣1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；
（3）若xg′（x）+lnx＞0对一切x≥2恒成立，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）当a=﹣2时，f "（x）=3x²﹣6．令f "（x）=0得，
故当或x＞时  f "（x）＞0，f "（x）单调递增；
当时   f "（x）＜0，f（x）单调递减．
所以函数f "（x）的单调递增区间为（，单调递减区间为；
（2）因f "（x）=3a²+3a，故g（x）=3x²﹣ax+3a﹣3．
令g（x）=h（a）=a（3﹣x）+3x²﹣3，要使h（a）＜0对满足﹣1≤a≤1的一切a成立，
则，
解得；．
（3）因为g（x"）=6x﹣a，
所以x（6x﹣a）+lnx＞0即对一切x≥2恒成立．
，
令6x²+1﹣lnx=φ（x），．
因为x≥2，所以φ"（x）＞0，
故φ（x）在[2，+∞）单调递增，有φ（x）≥ φ（2）=25﹣ln2＞0．
因此h"（x）＞0，从而．
a．