题目

题型：江苏月考题难度：来源：

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=xf（x）+tf"（x）+e﹣x（t∈R）．是否存在实数a、b、c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c）？若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）
当x≥0时，，函数在区间（0，+∞）上为减函数；
当x＜0时，，函数在区间（﹣∞，0）上为增函数
（2）假设存在a，b，c∈[0，1]使得g（a）+g（b）＜g（c），2[g（x）]_min＜[g（x）]_max
∵，
∴
①当t≥1时，g"（x）≤0，g（x）在[0，1]上单调递减，
∴2g（1）＜g（0）即得
②当t≤0时，g"（x）≥0，g（x）在[0，1]上单调递增，
∴2g（0）＜g（1）即得t＜3﹣2e＜0，
③当0＜t＜1时，在x∈[0，t），g"（x）＜0，g（x）在[0，t]上单调递减，
在x∈（t，1]，g"（x）＞0，g（x）在[t，1]上单调递增，
此时g（x）的最小值为g（t），最大值为max{g（0），g（1）}，
∴2g（t）＜max{g（0），g（1）}，
即       （*）        
由（1）知在t∈[0，1]上单调递减，故，
而，
∴不等式（*）无解，
综上所述，存在，使得命题成立．