题目

题型：江苏省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）的图像在[a，b]上连续不断，定义：   ，，其中min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a），对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）若f（x）=cosx，x∈[0，π]，试写出f₁（x），f₂（x）的表达式；
（2）已知函数f（x）=x²，x∈[-1，4]，试判断f（x）是否为[-1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由；
（3）已知，函数f（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围

答案

解：（1 ）由题意可得：，。    
（2），，   
 当时，∴ k≥1-x,k≥2
当时，1≤k(x+1),∴k≥,∴k≥1  
 当时，x₂≤k(x+1)∴k≥，。
即存在，使得是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。
（3），令得或。
的变化情况如下：

令f（x）=0得x=0或x=3。
（i）当b≤2时，f（x）=在[0,b]上单调递增，
因此，，。
因为是[0,b]上的”，
所以，①对x∈[0,b]恒成立；
②存在x∈[0,b]，使得成立。
①即：对x∈[0,b]恒成立，
由解得0≤x≤1或x≥2。
要使对x∈[0,b]恒成立，需且只需。
②即：存在x∈[0,b]，使得成立。
由解得或。
所以，只需。
综合①②可得。
（i i ）当时，f（x）在[0,2]上单调递增，在[2,b]上单调递减，
因此，，，，
显然当x=0时，不成立。
（i i i）当时，f（x）在[0,2]上单调递增，在[2,b]上单调递减，
因此，，，，
显然当x=0时，不成立。
综合（i）（i i）（i i i）可得：。