题目
题型:武昌区模拟难度:来源:
(I)若对定义域内的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求实数b的值;
(II)若函数f(x)的定义域上是单调函数,求实数b的取值范围;
(III)若b=-1,证明对任意的正整数n,不等式
n |
k=i |
1 |
k |
1 |
23 |
1 |
33 |
1 |
n3 |
答案
∴f(x)的定义域为(-1,+∞).…(1分)
因为对x∈(-1,+∞),都有f(x)≥f(1),
∴f(1)是函数f(x)的最小值,故有f′(1)=0.…(2分)
f′(x)=2x+
b |
x+1 |
∴2+
b |
2 |
经检验,b=-4时,f(x)在(-1,1)上单调减,在(1,+∞)上单调增.
f(1)为最小值.故得证. …(4分)
(Ⅱ)∵f′(x)=2x+
b |
x+1 |
2x2+2x+b |
x+1 |
又函数f(x)在定义域上是单调函数,
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(_1,+∞)上恒成立.…(6分)
若f′(x)≥0,则2x+
b |
x+1 |
即b≥-2x2-2x=-2(x+
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
若f′(x)≤0,则2x+
b |
x+1 |
即b≤-2x2-2x=-2(x+
1 |
2 |
1 |
2 |
因-2(x+
1 |
2 |
1 |
2 |
∴不存在实数b使f′(x)≤0恒成立.
综上所述,实数b的取值范围是[
1 |
2 |
(Ⅲ)当b=1时,函数f(x)=x2-ln(x+1).
令h(x)=f(x)-x3=-x3+x2-ln(x+1),
则h′(x)=-3x2+2x-
1 |
x+1 |
3x3+(x-1)2 |
x+1 |
当x∈(0,+∞)时,h′(x)<0,
所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递减.
又h(0)=0,∴当x∈[0,+∞)时,恒有h(x)<h(0)=0,
即x2-ln(x+1)<x3恒成立.
故当x∈(0,+∞)时,有f(x)<x3.…(12分)
∵k∈N*,∴
1 |
k |
取x=
1 |
k |
1 |
k |
1 |
k3 |
∴
n |
k=1 |
1 |
k |
1 |
23 |
1 |
3 3 |
1 |
n3 |
所以结论成立. …(14分)
核心考点
试题【设函数f(x)=x2+bln(x+1).(I)若对定义域内的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求实数b的值;(II)若函数f(x)的定义域上是单调函数,求实数】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当a=0时,求函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在R上单调,求a的取值范围;
(3)当a=-
5 |
2 |
1 |
3 |
A.(-1,2) | B.(-1,
| C.(
| D.(-2,1) |
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
1-x |
1+x |
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若函数f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
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