题目
题型:宁夏难度:来源:
(1)如a=b=-3,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(-∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明:β-α<6.
答案
故f′(x)=-(x3+3x2-3x-3)e-x+(3x2+6x-3)e-x=-e-x(x-3-9x)=-x(x-3)(x+3)e-x
当x<-3或0<x<3时,f′(x)>0;
当-3<x<0或x>3时,f′(x)<0.
从而f(x)在(-∞,-3),(0,3)单调增加,在(-3,0),(3,+∞)单调减少;
(Ⅱ)f′(x)=-(x3+3x2+ax+b)e-x+(3x2+6x+a)e-x=-e-x[x3+(a-6)x+b-a].
由条件得:f′(2)=0,即23+2(a-6)+b-a=0,故b=4-a,
从而f′(x)=-e-x[x3+(a-6)x+4-2a].
因为f′(α)=f′(β)=0,
所以x3+(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-α)(x-β)=(x-2)(x2-(α+β)x+αβ).
将右边展开,与左边比较系数得,α+β=-2,αβ=a-2.
故β-α=
(β+α)2-4αβ |
12-4a |
又(β-2)(α-2)<0,即αβ-2(α+β)+4<0.由此可得a<-6.
于是β-α>6.
核心考点
试题【已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x.(1)如a=b=-3,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(-∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2)】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)讨论f(x)的极值.
①已知a=
∫ | π0 |
3 |
3 |
②若f"(x0)=0,则函数y=f(x)在x=x0取得极值;
③m≥-1,则函数y=log
1 |
2 |
④在极坐标系中,点P(2,
π |
3 |
π |
6 |
其中真命题是______(把你认为正确的命题序号都填在横线上)
π |
2 |
A.f(x)=sinx+cosx | B.f(x)=lnx-2x |
C.f(x)=-x3+2x-1 | D.f(x)=-xe-x |
A.(-∞,1) | B.(-∞,2) | C.(0,1) | D.(1,2) |
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